Cómo calcular la distancia entre dos puntos con
coordenadas geograficas (latitud, longitud)?
Para calcular una distancia exacta entre dos puntos en la Tierra,
se debe usar la geometría esférica (no -euclidiana)
y algunas funciones de trigonometría; debido principalmente
a la esfericidad de la tierra (estrictamente hablando, la tierra
es un esferoide oblado). Sin embargo esta distancia se puede calcular
de manera aproximada, usando unas funciones matemáticas
mucho mas simples, la cual sirve para hacer cálculos aproximados,
que sirven a ciertas escalas.
Esta formula calcula una distancia (d) aproximada en kilometros,
pero puede producir errores en un rango del 10% o un poco mas.
Los valores de latitud y longitud se trabajan en grados decimales:
d = 
donde
x = 110,56 * ( lat2 - lat1 )
y = 84,8 * ( lon2 - lon1 )
Se puede mejorar la precision de esta formula utilizando la formula
de la Distancia del Gran Circulo (Great Circle Distance). Esta
formula requiere utilizar algunas cosas de geometria esferica
(no muy complicadas) y de poder trabajar con todos los decimales
que tenga su calculadora (preferiblemente 15 decimales). Asi pues
la distancia en kilometros es:
d = r * acos [ sen ( lat1 ) * sen ( lat2 ) + cos ( lat1 ) * cos
( lat2 ) * cos ( lon2 - lon1 )]
donde r es el radio de la tierra;
r = 6378.7 Kilometros.
Fórmula para transformar latitud y longitud, en coordenadas planas con proyección de Transversa de Mercator.
Esta fórmula es más precisa, porque es la que utilizan casi todos los software GIS, aunque se ve un poco complicada, tan solo involucra trigonometría y cálculo básico. Veamos:
supuestos:
P = punto bajo consideracion
F = base de la perpendicular desde P al meridiano central. La latitud de F es llamada la latitud de referencia.
O = origen
OZ = meridiano central
LP = paralelo o latitud de P
ZP = meridiano de P
OL = k0S = arco meridional desde el ecuador
LF = ordenada de la curvatura
OF = N = grillado hacia el norte
FP = E = distancia de grilla desde el meridiano central
GN = grilla del norte
C = convergencia de meridianos = angulo verdadero entre grilla norte
Se necesitan ademas los parámetros del datum. La fórmula es una ligeramente modificada de Army (1973). Tiene una presición de menos de un metro para la Región Amazónica.
Símbolos
- lat = latitud del punto
- long = longitud del punto
- long0 = meridiano central
- k0 = escala a lo largo de long0 = 0.9996
- e = SQRT(1-b2/a2) = .08 aproximadamente. Esta es la excentricidad del corte seccional eliptico de la tierra.
- e'2 = (ea/b)2 = e2/(1-e2) =
.007 aproximadamente. La cantidad e' solamente ocurre en potencias pares, de manera qye solamente puede ser calculada como e'2.
- n = (a-b)/(a+b)
- rho =
a(1-e2)/(1-e2sin2(lat))3/2. Este es el radio de la curvatura de la Tierra en el plano meridiano.
- nu = a/(1-e2sin2(lat))1/2. Este es el radio de la curvatura de la Tierra perpendicular al plano meridiano. Es también la distancia desde el punto en cuestión al eje polar, medido perpendicular a la superficie terrestre.
- p = (long-long0)
- sin1" = seno de un arco de un segundo = pi/(180*60*60) = 4.8481368 x
10-6.
Calculando el arco meridional
S es el arco meridional que cruza el punto en cuestión (la distancia a lo largo de la superficie de la tierra desde el ecuador). Todos los ángulos están en radianes.
- S = A'lat - B'sin(2lat) + C'sin(4lat) - D'sin(6lat) + E'sin(8lat), donde la lat están en radianes y
- A' = a[1 - n + (5/4)(n2 - n3) +
(81/64)(n4 - n5) ...]
- B' = (3an/2)[1 - n + (7/8)(n2 - n3) +
(55/64)(n4 - n5) ...]
- C' = (15an2/16)[1 - n + (3/4)(n2 -
n3) ...]
- D' = (35an3/48)[1 - n + (11/16)(n2 -
n3) ...]
- E' = (315an4/51)[1 - n ...]
El USGS usa esta fórmula: (Ellos usan M donde Army usa S)
- M = a[(1 - e2/4 - 3e4/64 - 5e6/256
....)lat
- (3e2/8 + 3e4/32 +
45e6/1024...)sin(2lat)
+ (15e4/256 +
45e6/1024 + ....)sin(4lat)
- (35e6/3072 + ....)
sin(6lat) + ....)] donde lat está en radianes
Convirtiendo Latitud y Longitud a Planas
Todos los ángulos están en radianes.
y = norte = K1 + K2p2 + K3p4, donde
- K1 = Sk0,
- K2 = k0sin21" nu sin(lat)cos(lat)/2
- K3 = [k0sin41" nu
sin(lat)cos3(lat)/24][(5 - tan2(lat) +
9e'2cos2(lat) + 4e'4cos4(lat)]
x = este = K4p + K5p3, donde
- K4 = k0sin1" nu cos(lat)
- K5 = (k0sin31" nu cos3(lat)/6)[1 -
tan2(lat) + e'2cos2(lat)]
Este x es relativo al meridiano central.
Convirtiendo Planas a Latitud y Longitud
y = norte, x = este (relativo al meridiano central .
Calcular el Arco Meridional
M = y/k0.
Calcular Latitud y Longitud
- e'2 = (ea/b)2 =
e2/(1-e2)
- C1 = e'2cos2(fp)
- T1 = tan2(fp)
- R1 =
a(1-e2)/(1-e2sin2(fp))3/2. Esta es la misma que rho en las fórmulas de conversión de arriba, pero calculada para fp en vez de lat.
- N1 = a/(1-e2sin2(lat))1/2. Es la misma que nu en las fórmulas de conversión de arriba, pero calculada para fp en vez de lat.
- D = x/(N1k0)
lat = fp - Q1(Q2 - Q3 + Q4), donde:
- Q1 = N1 tan(fp)/R1
- Q2 = (D2/2)
- Q3 = (5 + 3T1 + 10C1 - 4C12 -9e'2)D4/24
- Q4 = (61 + 90T1 + 298C1 +45T12 - 3C12 -252e'2)D6/720
long = long0 + (Q5 - Q6 + Q7)/cos(fp), donde:
- Q5 = D
- Q6 = (1 + 2T1 + C1)D3/6
- Q7 = (5 - 2C1 + 28T1 - 3C12 + 8e'2 +
24T12)D5/120
